ПРОТЕКАНИЯ ТЕОРИЯ (перколяции теория, от лат. percolatio - процеживание; просачивания теория) - матем. теория, к-рая используется в для изучения процессов, происходящих в неоднородных средах со случайными свойствами, но зафиксированными в пространстве и неизменными во времени. Возникла в 1957 в результате работ Дж. Хаммерсли (J. Hammersley). В П. т. различают решёточные задачи П. т., континуальные задачи и т. н. задачи на случайных узлах. Решёточные задачи в свою очередь делятся на т. н. задачи узлов н задачи связей между ними.

Задачи связей . Пусть связи - рёбра, соединяющие соседние узлы бесконечной периодич. решётки (рис., о). Предполагается, что связи между узлами могут быть двух типов: целыми или разорванными (блокированными). Распределение целых и блокированных связей в решётке случайно; вероятность того, что данная связь является целой, равна х . Предполагается, что она не зависит от состояния соседних связей. Два узла решётки считаются связанными друг с другом, если их соединяет цепочка целых связей. Совокупность связанных друг с другом узлов наз. кластером. При малых значениях x целые связи, как правило, далеки друг от друга и доминируют кластеры из небольшого кол-ва узлов, однако с увеличением x размеры кластеров резко увеличиваются. Порогом протекания (х c )наз. такое значение х , при к-ром впервые возникает кластер из бесконечного числа узлов. П. т. позволяет вычислить пороговые значения х с , а также исследовать топологию крупномасштабных кластеров вблизи порога (см. Фракталы С ).помощью П. т. можно описать электропроводность системы, состоящей из проводящих и непроводящих элементов. Напр., если предположить, что целые связи проводят электрич. ток, а блокированные не проводят, то окажется, что при х < х с уд. электропроводность решётки равна О, а при х > х с она отлична от 0.

Протекание по решётке: а - задача связей (путь протекания сквозь указанный блок отсутствует); б - задача узлов (показан путь протекания).

Решёточные задачи узлов отличаются от задач связей тем, что блокированные связи распределены на решётке не поодиночке - блокируются все связи, выходящие из к--л. узла (рис., б) . Блокированные таким способом узлы распределены на решётке случайно, с вероятностью 1 - х . Доказано, что порог х с для задачи связей на любой решётке не превышает порога х с для задачи узлов на той же решётке. Для нек-рых плоских решёток найдены точные значения х с . Напр., для задач связей на треугольной и шестиугольной решётках х с = 2sin(p/18) и х с = 1 - 2sin(p/18). Для задачи узлов на квадратной решётке х с = 0,5. Для трёхмерных решёток значения х с найдены приближённо с помощью моделирования на ЭВМ (табл.).

Пороги протекания для различных решёток

Тип решётки	х с для задачи связей	х с Для задачи узлов
Плоские решётки
шестиугольная
квадратная
треугольная
Трёхмерные решётки
типа алмаза
простая кубическая
объёмноцентрированная кубическая
гранецентрированная кубическая

Континуальные задачи. В этом случае вместо протекания по связям и узлам рассматриваются в неупорядоченной сплошной среде. Во всём пространстве задаётся непрерывная случайная ф-ция координат . Зафиксируем нек-рое значение ф-ции и назовём области пространства, в к-рых чёрными. При достаточно малых значениях эти области редки и, как правило, изолированы друг от друга, а при достаточно больших они занимают почти всё пространство. Требуется найти т. н. уровень протекания- мин. значение при к-ром чёрные области образуют связанный лабиринт путей, уходящий на бесконечное расстояние. В трёхмерном случае точное решение континуальной задачи пока не найдено. Однако моделирование на ЭВМ показывает, что для гауссовых случайных ф-цийв трёхмерном пространстве придоля объёма, занимаемая чёрными областями, приолижённо равно 0,16. В двумерном случае доля площади, занимаемая чёрными областями при, точно равна 0,5.

Задачи на случайных узлах. Пусть узлы не образуют правильную решётку, а случайно распределены в пространстве. Два узла считаются связанными, если расстояние между ними не превышает фиксированное значениеЕслимало по сравнению со ср. расстоянием между узлами, то кластеры, содержащие 2 или больше связанных друг с другом узлов, редки, однако число таких кластеров резко растёт с увеличением г и при нек-ром критич. значении возникает бесконечный кластер. Моделирование на ЭВМ показывает, что в трёхмерном случае0,86, где N - концентрация узлов. Задачи на случайных узлах и их разл. обобщения играют важную роль в теории прыжковой проводимости .

Эффекты, описываемые П. т., относятся к критическим явлениям , характеризующимся критич. точкой, вблизи к-рой система распадается на блоки, причём размер отд. блоков неограниченно растёт при приближении к критич. точке. Возникновение бесконечного кластера в задачах П. т. во многом аналогично фазовому переходу второго рода. Для матем. описания этих явлений вводится параметр порядка ,к-рым в случае решёточных задач служит доля Р(х )узлов решётки, принадлежащих к бесконечному кластеру. Вблизи порога протекания ф-ция Р(х )имеет вид

где - численный коэф., b - критич. индекс параметра порядка. Аналогичная ф-ла описывает поведение уд. электропроводности s(х )вблизи порога протекания:

где В 2 - численный коэф., s(1) - уд. электропроводность при c = 1, f - критич. индекс электропроводности. Пространственные размеры кластеров характеризуются радиусом корреляции R(x) , обращающимся в

Здесь B 3 - численный коэф., а - постоянная решётки, v - критич. индекс радиуса корреляции.

Пороги протекания существенно зависят от типа задач П. т., но критич. индексы одинаковы для разл. задач и определяются лишь размерностью пространства d (универсальность). Представления, заимствованные из теории фазовых переходов 2-го рода, позволяют получить соотношения, связывающие различные критич. индексы. Приближение самосогласованного поля применимо к задачам П. т. при d > 6. В этом приближении критич. индексы не зависят от d ; b = 1, = 1 / 2 .

Результаты П. т. используются при изучении электронных свойств неупорядоченных систем , фазовых переходов металл - диэлектрик, ферромагнетизма твёрдых растворов, кинетич. явлений в сильно неоднородных средах, физ--хим. процессов в твёрдых телах и т. д.

Лит.: Мотт Н., Дэвис Э., Электронные процессы в некристаллических веществах, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1982; Шкловский Б. И., Эфрос А. Л., Электронные свойства легированных , м., 1979; 3 а й-ман Д. М., Модели беспорядка, пер. с англ., М., 1982; Эфрос А. Л., Физика и геометрия беспорядка, М., 1982; Соколов И. М., Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания, "УФН", 1986, т. 150 с. 221. А. Л. Эфрос .

percōlāre , просачиваться, протекать) называется явление протекания или не протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы. Теория перколяции находит применение в описании разнообразных систем и явлений, в том числе таких, как распространение эпидемий и надежность компьютерных сетей.

Некоторые примеры задач, которые решаются через теорию перколяции:

• Сколько надо добавить медных опилок в ящик с песком, чтобы смесь начала проводить ток?
• Какой процент людей должен быть восприимчив к болезни, чтобы стала возможна эпидемия?

Описание

Явление перколяции (или протекания среды ) определяется:

1. Средой, в которой наблюдается это явление;
2. Внешним источником, который обеспечивает протекание в этой среде;
3. Способом протекания среды, который зависит от внешнего источника.

Пример

В качестве простейшего примера можно рассмотреть модель протекания (например электрического пробоя) в двумерной квадратной решетке, состоящей из узлов, которые могут быть проводящими или непроводящими. В начальный момент времени все узлы сетки являются непроводящими. Со временем источник заменяет непроводящие узлы на проводящие, и число проводящих узлов постепенно растет. При этом узлы замещаются случайным образом, то есть выбор любого из узлов для замещения является равновероятным для всей поверхности решетки.

Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, при котором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлы от одного до противоположного края. Очевидно, что с ростом числа проводящих узлов, этот момент наступит раньше, чем вся поверхность решетки будет состоять исключительно из проводящих узлов.

Обозначим непроводящее и проводящее состояние узлов нулями и единицами соответственно. В двумерном случае среде будет соответствовать бинарная матрица. Последовательность замены нулей матрицы на единицы будет соответствовать источнику протекания.

В начальный момент времени матрица состоит полностью из непроводящих элементов:

По мере увеличения числа проводящих узлов наступает такой критический момент, когда происходит перколяция, как показано ниже:

0	0	0	1
1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Видно, что от левой к правой границе последней матрицы имеется цепочка элементов, которая обеспечивает протекание тока по проводящим узлам (единицам), непрерывно следующим друг за другом.

Перколяция может наблюдаться как в решетках, так и других геометрических конструкциях, в том числе непрерывных, состоящих из большого числа подобных элементов или непрерывных областей соответственно, которые могут находиться в одном из двух состояний. Соответствующие математические модели называются решеточными или континуальными.

В качестве примера перколяции в непрерывной среде может выступать прохождение жидкости через объемный пористый образец (например, воды через губку из пеноообразующего материала), в котором происходит постепенное надувание пузырьков до тех пор, пока их размеров не станет достаточно для просачивания жидкости от одного края образца до другого.

Индуктивно, понятие перколяции переносится на любые конструкции или материалы, которые называются перколяционной средой, для которой должен быть определен внешний источник протекания, способ протекания и элементы (фрагменты) которой могут находиться в разных состояниях, одно из которых (первичное) не удовлетворяет данному способу прохождения, а другое удовлетворяет. Способ протекания также подразумевает собой определенную последовательность возникновения элементов или изменение фрагментов среды в нужное для протекания состояние, которое обеспечивается источником. Источник же переводит постепенно элементы или фрагменты образца из одного состояния к другому, пока не наступит момент перколяции.

Порог протекания

Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называется перколяционным кластером . Будучи по своей природе связным случайным графом , в зависимости от конкретной реализации он может иметь различную форму. Поэтому принято характеризовать его общий размер. Порогом протекания называется минимальная концентрация, при которой возникает протекание.

Ввиду случайного характера переключений состояний элементов среды, в конечной системе чётко определенного порога (размера критического кластера) не существует, а имеется так называемая критическая область значений , в которую попадают значения порога перколяции, полученные в результате различных случайных реализаций. С увеличением размеров системы область сужается в точку.

Литература

• Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. (Библиотечка "Квант", выпуск 19) - М.: Из-во "Наука", 1982. - 265 с -

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Перколяция" в других словарях:

Просачивание, выщелачивание, процеживание Словарь русских синонимов. перколяция сущ., кол во синонимов: 5 выщелачивание (1) … Словарь синонимов

- (от лат. percolatio процеживание, фильтрация а. percolation; н. Perkolation; ф. percolation; и. percolacion) технол. процесс фильтрования жидкости через неподвижный слой твёрдого вещества (выщелачивание просачиванием) c … Геологическая энциклопедия

См. вст. Протеканиятеория. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

Медленное прохождение жидкости через слой твердых частиц. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии

перколяция - и, ж. percolation f. хим. Песковый материал, или эфель, допускающий просачивание (перколяцию) через него раствора с достаточной для промышленного процесса скоростью, обрабатывается путем эфельного или перколяционного процесса. ТЭ 1931 8 549.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

перколяция - Движение воды через почву или горную породу (нередко сопровождаемое извлечением из них растворимых компонентов) в более глубокие слои, где формируются грунтовые воды. Syn.: просачивание; фильтрация … Словарь по географии

- (от лат. percolatio процеживание, фильтрация), способ выщелачивания металлов из неподвижного слоя измельчённой руды (главным образом медной окисленной и золотосодержащей). Осуществляется просачиванием в чанах перколяторах. * * * ПЕРКОЛЯЦИЯ… … Энциклопедический словарь

перколяция - perkoliacija statusas T sritis chemija apibrėžtis Naudingųjų iškasenų ekstrahavimas iš bergždo cheminių medžiagų tirpalais. atitikmenys: angl. percolation rus. перколяция …

перколяция - perkoliacija statusas T sritis chemija apibrėžtis Skysčių, pvz., naftos produktų, valymas nuo priemaišų leidžiant lėtai tekėti per adsorbento sluoksnį. atitikmenys: angl. percolation rus. перколяция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

- (percolatio; лат. percolo, percolatum процеживать; син. вытеснение) метод изготовления настоек и жидких экстрактов, при котором извлекающая жидкость в ходе процесса непрерывно обновляется … Большой медицинский словарь

Книги

• Статистическая физика сложных систем. От фракталов до скейлинг-поведения , С. Г. Абаимов. Многообразие происходящих в природе явлений, на первый взгляд, не подчиняется каким-то унифицированным принципам, и каждое явление требует введения своих законовописания поведения. Однако…

Теория перколяции (протекания) является наиболее общим подходом к описанию процессов переноса в неупорядоченных системах. С ее помощью рассматривают вероятности образования кластеров из касающихся друг друга частиц и предсказывают как величины порогов протекания, так и свойства композитов (электрические, механические, тепловые и др.).

Протеканию электрического тока в композиционных материалах наиболее адекватна перколяционная задача, сформулированная для непрерывной среды. Согласно этой задаче, каждой точке пространства с вероятностью p = x отвечает проводимость g = g Н и с вероятностью (1-p ) – проводимость g = g Д , где g Н – электропроводность наполнителя, g Д – электропроводность диэлектрика. Порог протекания в этом случае равен минимальной доле пространства x C , занятой проводящими областями, при которой система еще является проводящей. Таким образом, при критическом значении вероятности p = x С в системе наблюдается переход металл-диэлектрик. При малых p все проводящие элементы содержатся в кластерах конечного размера, изолированных друг от друга. По мере увеличения p средний размер кластеров возрастает и при p = x С в системе впервые возникает бесконечный кластер . И, наконец, при высоких p изолированными друг от друга будут непроводящие области.

Основным результатом теории перколяции является степенной характер концентрационного поведения удельной проводимости в критической области:

где x – объемная концентрация проводящей фазы с проводимостью g Н ; x С – критическая концентрация (порог протекания); g Д – проводимость диэлектрической фазы. Зависимость (1)-(3) приведена на рис.1.

Рис. 1. Зависимость проводимости композиционного материала от концентрации наполнителя

Связь между показателями степени (критическими индексами):

Q=t(1/S-1)

Вероятно, единственным точным результатом, полученным в теории гетерогенных систем, является результат для двумерной двухфазной системы металл-диэлектрик с такой структурой, что при x Д =x Н = 0,5 замена металл на диэлектрик статистически не меняет структуру. Это позволяет определить критический индекс S для двумерных систем: S 2 =0,5. Тогда из (1.17) q 2 =t 2 =1,3. Для трехмерных систем: S 3 =0,62, q 3 =1, t 3 =1,6.

Одним из наиболее важных параметров теории протекания является порог протекания x С. Этот параметр более чувствителен к изменению структуры, чем критические индексы. Для двумерных систем он варьируется в пределах 0,30-0,50 со средним теоретическим x С =0,45, а для трехмерных – в пределах 0,05-0,60 с x С =0,15. Эти вариации связаны с разнообразием типов структур композиционных материалов, поскольку в реальных системах критическая концентрация в сильной степени определяется технологическим режимом получения смеси: характером дисперсности порошка, способом напыления, режимами прессования, термообработки и т.д. Поэтому наиболее целесообразно определять порог протекания экспериментально по концентрационным зависимостям g (x ), а не считать теоретическим параметром.

Порог протекания определяется характером распределения наполнителя в матрице, от формы частиц наполнителя, типа матрицы.

Для структурированных композиционных материалов характер электропроводности и вид зависимости g (x ) качественно не отличаются от аналогичных зависимостей для статистических систем, однако порог протекания смещается в сторону меньших концентраций. Структурирование может быть обусловлено взаимодействием матрицы и наполнителя, либо осуществляться принудительным образом, например, под действием электрического или магнитного полей.

Также порог протекания зависит от формы частиц наполнителя. Для вытянутых частиц и частиц чешуйчатой формы порог протекания ниже, чем для частиц сферической формы. Это связывают с тем, что значительная протяженность электропроводящих участков, обусловленная геометрией частиц, повышает вероятность создания надежного контакта и способствует образованию бесконечного кластера при сравнительно небольших степенях наполнения композита.

Для волокон, имеющих одинаковое отношение длины к диаметру, но введенных в разные полимеры, получены разные значения x С .

Несмотря на значительный прогресс теория перколяции не получила широкого применения для трехкомпонентных и более сложных композиционных материалов .

Также возможно сочетать теорию перколяции и другие методы расчета для

Введение

Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на западе публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика, теорию перколяции следует отнести к теории вероятности в графах. С точки зрения физика - перколяция - это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста - широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика - простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Данная работа будет посвящена основным положениям теории перколяции. Я рассмотрю теоретические основы перколяции, приведу примеры, поясняющие явление перколяции. Также будет рассмотрены основные приложения теории перколяции.

Теория перколяции

Теория перколяции (протекания) -- теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два простейших типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю крашенных узлов основным независимым параметром и полагая два крашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних крашенных узлов.

Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него крашенных узлов, составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачи связей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлы может идти ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор.

Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода.

Явление перколяции (или протекания среды) определяется:

Средой, в которой наблюдается это явление;

Внешним источником, который обеспечивает протекание в этой среде;

Способом протекания среды, который зависит от внешнего источника.

В качестве простейшего примера можно рассмотреть модель протекания (например электрического пробоя) в двумерной квадратной решетке, состоящей из узлов, которые могут быть проводящими или непроводящими. В начальный момент времени все узлы сетки являются непроводящими. Со временем источник заменяет непроводящие узлы на проводящие, и число проводящих узлов постепенно растет. При этом узлы замещаются случайным образом, то есть выбор любого из узлов для замещения является равновероятным для всей поверхности решетки.

Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, при котором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлы от одного до противоположного края. Очевидно, что с ростом числа проводящих узлов, этот момент наступит раньше, чем вся поверхность решетки будет состоять исключительно из проводящих узлов.

Обозначим непроводящее и проводящее состояние узлов нулями и единицами соответственно. В двумерном случае среде будет соответствовать бинарная матрица. Последовательность замены нулей матрицы на единицы будет соответствовать источнику протекания.

В начальный момент времени матрица состоит полностью из непроводящих элементов:

перколяция гелеобразование газочувствительный кластер

По мере увеличения числа проводящих узлов наступает такой критический момент, когда происходит перколяция, как показано ниже:

Видно, что от левой к правой границе последней матрицы имеется цепочка элементов, которая обеспечивает протекание тока по проводящим узлам (единицам), непрерывно следующим друг за другом.

Перколяция может наблюдаться как в решетках, так и других геометрических конструкциях, в том числе непрерывных, состоящих из большого числа подобных элементов или непрерывных областей соответственно, которые могут находиться в одном из двух состояний. Соответствующие математические модели называются решеточными или континуальными.

В качестве примера перколяции в непрерывной среде может выступать прохождение жидкости через объемный пористый образец (например, воды через губку из пеноообразующего материала), в котором происходит постепенное надувание пузырьков до тех пор, пока их размеров не станет достаточно для просачивания жидкости от одного края образца до другого.

Индуктивно, понятие перколяции переносится на любые конструкции или материалы, которые называются перколяционной средой, для которой должен быть определен внешний источник протекания, способ протекания и элементы (фрагменты) которой могут находиться в разных состояниях, одно из которых (первичное) не удовлетворяет данному способу прохождения, а другое удовлетворяет. Способ протекания также подразумевает собой определенную последовательность возникновения элементов или изменение фрагментов среды в нужное для протекания состояние, которое обеспечивается источником. Источник же переводит постепенно элементы или фрагменты образца из одного состояния к другому, пока не наступит момент перколяции.

Порог протекания

Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называется перколяционным кластером. Будучи по своей природе связным случайным графом, в зависимости от конкретной реализации он может иметь различную форму. Поэтому принято характеризовать его общий размер. Порогом протекания называется количество элементов перколяционного кластера, отнесенное к общему количеству элементов рассматриваемой среды.

Ввиду случайного характера переключений состояний элементов среды, в конечной системе чётко определенного порога (размера критического кластера) не существует, а имеется так называемая критическая область значений, в которую попадают значения порога перколяции, полученные в результате различных случайных реализаций. С увеличением размеров системы область сужается в точку.

перколяция иначе протекание (англ. ) — в материаловедении - скачкообразное возникновение новых свойств в материале (электрической проводимости - для изолятора, газопроницаемости - для газонепроницаемого материала и т. д.) при его наполнении «заполнителем», обладающим данной характеристикой. В ряде случаев, заполнителем могут выступить поры и пустоты.

Описание

Перколяция возникает при некоторой критической концентрации наполнителя или пор (пороге перколяции) в результате образования от одной стороны образца материала до противоположной непрерывной сетки (канала) из частиц (кластеров) наполнителя.

Процесс перколяции может быть наглядным образом рассмотрен на примере протекания электрического тока в двумерной квадратной решетке, состоящей из электропроводящих и непроводящих участков. К двум противоположным сторонам решетки припаяны металлические контакты, которые присоединены к источнику питания. При некотором критическом значении доли проводящих элементов, расположенных случайным образом, цепь замыкается (рис.).

В 2010 г. «за доказательство конформной инвариантности перколяции и модели Изинга в статистической физике» Станислав Смирнов, уроженец Санкт-Петербурга стал лауреатом математической премии Филдса - эквивалента Нобелевской премии.

Иллюстрации